二维欧几里得距离的定义
在二维平面直角坐标系中，给定两个点 P(x_1, y_1) 和 Q(x_2, y_2)，二维欧几里得距离（Euclidean Distance） 是衡量这两个点之间直线距离的数学量度。其计算公式为：
d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
公式解析
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差值平方：
- 计算两个点在 (x) 轴和 (y) 轴上的坐标差值，并分别平方。
- ((x_2 - x_1)^2) 表示 (x) 轴方向的差异，((y_2 - y_1)^2) 表示 (y) 轴方向的差异。
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平方和：
- 将两个方向的平方差相加，得到一个非负数。
- 这一步确保了距离的正定性（距离始终非负）。
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开平方：
- 对平方和开平方，得到两点之间的直线距离。
- 这一步恢复了距离的原始量纲（与坐标轴单位一致）。
直观理解
二维欧几里得距离可以类比为“两点之间的直线长度”。例如：
- 地图上的两点：假设 P(1, 1) 和 Q(4, 5)是地图上的两个位置，欧几里得距离 d(P, Q) = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5。这意味着两点之间的直线距离是 5 个单位（如公里或米）。
- 几何图形：
在几何中，欧几里得距离是两点之间最短路径的长度，即直线的长度。
数学性质
- 非负性：d(P, Q) \geq 0 ，当且仅当 P = Q时取等号。
- 对称性:d(P, Q) = d(Q, P)。
- 三角不等式：
对于任意三点 (P)、(Q)、(R)，有d(P, R) \leq d(P, Q) + d(Q, R)。
应用场景
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计算机科学：
- 图像处理：计算像素之间的相似性。
- 机器学习：在 K-最近邻（KNN）算法中，计算样本之间的距离。
- 路径规划：在网格地图中，计算两点之间的最短路径。
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物理学：
- 计算粒子之间的空间距离。
- 在运动学中，计算物体的位移。
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工程学：
- 在机器人导航中，计算机器人与目标点之间的距离。
- 在地理信息系统（GIS）中，计算两个地点之间的直线距离。
示例计算
假设有两个点 (A(2, 3)) 和 (B(5, 7))，计算它们的欧几里得距离：
d(A, B) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
因此，点 (A) 和点 (B) 之间的欧几里得距离是 5。
扩展到高维空间
欧几里得距离的概念可以推广到更高维度的空间。对于 (n) 维空间中的两点 P(x_1, x_2, \dots, x_n) 和 Q(y_1, y_2, \dots, y_n) ，距离公式为：
d(P, Q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - x_i)^2}
总结
二维欧几里得距离是描述两点之间直线距离的经典方法，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。其计算简单直观，且满足距离的基本性质，是许多算法和模型的基础。