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小蓝本 第六册第一章

错误类型

✅整除

题目

错因：

5

注意该题可以分为合数和素数，然后分别去证

7

注意，算出来的值可以通过列不等式来算值，然后再代入

15

在证明的时候，可以优先选择最大公约数为一个元，然后继续把每个数代替

22

该题可以根据5的任一平方一定尾数5，来解

24

该题可以排序，然后把d 设为最大的，然后可以列出不等式b < a + b + c + d \leq 4d,进行求解

28

注意一下，该题除了它为偶数的情况下，因为n \geq 3, 所以通过演算，也可以发现n = 3也是解

31

该题需要利用带余除法的公式b = aq + r 得到（a + r, m）= 1

33

注意该题的有些结果可能不符合题意，需要舍去

37

在计算的时候，可能有些最小可能值，不一定是部分最小来导致全局最小

38

注意一下，我们可以通过举最小的数，来算一算，通过结果的最小值，来下证，最后证明

错误类型

✅同余

题目

错因：

4

该题可以计算当k = 2极值时的结果，让后在进行分类讨论k\geq2 的奇偶情况

6

注意跟数码和有关的，可以记每一位为一个字母，然后再论证

11

注意填幻方的时候，可以把3的倍数放在一个对角线上，然后尽量凑3的倍数填

14

注意我们可以分为3次来猜第一次按顺序猜，第二次猜后面一部分，第三次猜前面一部分

17

对于应为它要求一长串数，所以就可以同时模a-1，就可以缩小范围，最后求出它有多少个因子即可

23

该题需要提前算出37|a^2-36b^2然后利用平方差公式，即可求解

28

该题可以设n = 10k + 2,因为只有(XXX2)^3 = XXXX8 ,所以最后带入求解一下，就行

31

注意到c为合数，所以可以设c = pq(1<p<n, 1<q<n) 然后再求

38

我们可以通过观察发现第n次会跳到2^n格，然后枚举，最后算有多少个点

41

注意一下方案数可能反过来还是一个，所以要验证一下，最后是的话，也要写上去

错误类型

✅不定方程

题目

错因：

4

注意，代入消元的方法很重要，多元的方程，一定要想一想能不能消元，再因式分解

6

注意我们可以先分别解出x,y,可以不是一次项，最后根据条件确定取值范围，最后带入即可

12

注意到我们可以先去括号，展开得到的结果可以进行配方，最后进行分类讨论

15

注意到该题中的a,b,c只可能为2和5的n次方的倍数,（他的最小公倍数只有2和5）， 最后解方程即可

18

注意该题可以，通过x1<x2<...<xn可以推出xi >= i,所以我们可以下证m = 1,2,...,n,最后证明

36

注意改题的模数要找好，不一定是改题出现的数字，也可以是一些有代表性的质数

40

注意改题我们可以设F(x,y) = x^3-(x^2)*y+y^2+x-y,然后计算后下证，在按照δ的判别式，判断是不是平方数